No.147 試験監督（2）

No.147 試験監督（2） - yukicoder

• 繰り返し２乗法を使うもんだい。フィボナッチ数列が隠れているとは...
• 行列繰り返し2乗法で高速化できないか？というのはテクニックとして覚えておこう。(蟻本で見てはいたんだけどなぁ...)

const ll Mod = (int)(1E+9)+7;
class Invigilator2 {
public:
    //
    // x^(10^k) = x^(10^(k-1)*10)
    //          = x^(10^(k-1)) * ... * x^(10^(k-1))
    // なので計算量が落とせる
    ll tenPow(ll a, string k) {
        reverse(RANGE(k));

        ll ret = 1LL;
        ll prev = a; // a^(10^(k-1))
        // O(|k|*10) <= 2000
        for (auto c : k)
        {
            ll cur = 1LL;
            ll ten = 1LL;

            REP(i,c-'0')
                (cur *= prev) %= Mod;
            (ret *= cur) %= Mod;
            REP(i,10)
                (ten *= prev) %= Mod;
            prev = ten;
        }
        return ret;
    }
    // P(x) := x 個いすがある机で x 番目に座る
    // Q(x) := x 個いすがある机で x 番目に座らない
    // とすると
    //
    // P(x+1) = Q(x)
    // Q(x+1) = P(x)+Q(x)
    // の関係式となる
    //
    // R(x) = P(x)+Q(x) が求める組み合わせ数で
    // R(x+1) = Q(x) + P(x) + Q(x)
    //        = R(x) + R(x-1)
    // R(0) = 1
    // R(1) = 2
    //
    // よりこれはフィボナッチ数列となる
    // フィボナッチ数は行列累乗で O(log(n)) で解ける
    //
    // |R(x+1)|   |1  1| |R(x)  |
    // |      | = |    |*|      |
    // |R(x)  |   |1  0| |R(x-1)|
    //
    // S(x+1) = B*S(x)
    // S(x) = B^x * S(0)
    //
    typedef array<ll,4> Mat;
    Mat mul(const Mat &a, const Mat &b) {
        return Mat{(a[0]*b[0]%Mod+a[1]*b[2]%Mod)%Mod,
                   (a[0]*b[1]%Mod+a[1]*b[3]%Mod)%Mod,
                   (a[2]*b[0]%Mod+a[3]*b[2]%Mod)%Mod,
                   (a[2]*b[1]%Mod+a[3]*b[3]%Mod)%Mod};
    }
    Mat mpow(const Mat &x, ll k) {
        Mat  a = x;
        Mat  b{1,0,
               0,1};
        while (k > 0)
        {
            if (k & 1)
                b = mul(b,a);
            a = mul(a,a);
            k >>= 1;
        }
        return b;
    }
    ll calc(ll x) {
        auto a = mpow(Mat{1,1,1,0}, x);
        return mul(a, Mat{2,0,
                          1,0})[2];
    }
    void solve(void) {
        int N;
        cin>>N;
        vector<ll> C(N);
        vector<string> D(N);
        REP(i,N)
        {
            cin>>C[i]>>D[i];
        }
        ll cnt = 1LL;
        // O(N*(2000+log(D[i]))) <= 6*10^7
        REP(i,N)
        {
            (cnt *= tenPow(calc(C[i]), D[i])) %= Mod;
        }
        cout<<cnt<<endl;
    }
};