No.75 回数の期待値の問題

自分自身を含む K+1 連立方程式を解く問題。確率系は苦手意識が...。いや、他のも解けないけど..。
最初なんで 2 分探索が使えるのかわからなかった。高校数学ですね...。
いろんな解法があるらしい。引き出しが多いのはうらやましいな。

class CountExpectationProblem {
public:
    // 残りの数値 k から終了までのサイコロをふる回数の期待値を Exp(k) とする。
    // このとき
    //
    //  * Exp(0) = 0
    //  * Exp(k) = Exp(K) (k < 0) (K を超えたら 0 にリセットされるので)
    //  * Exp(k) = 1 + (Exp(k-1)+...+Exp(k-6))/6    (k>0)
    //
    // この連立方程式から Exp(K) を計算すれば良い
    //

    // Exp(K) = x として漸化式を計算する。
    double F(int K, double x) {
            vector<double> Exp(K+1,0);
            FOR(k,1,K+1)
            {
                Exp[k] = 1.0;
                for (int i = 1; i <= 6; ++i)
                    Exp[k] += ((k-i>=0)? Exp[k-i] : x)/6.0; // k<0 のときは x (=~Exp(K)) を使う
            }
            return Exp[K];
    }
    void solve_binserach(void) {
            int K;
            cin>>K;

            //
            // 漸化式より Exp(k) は初項 x = Exp(K) の関数 F(k,x) = Exp(k) とみなせる。
            // y = F(x) = F(K,x) とすると
            //
            //  F(0) > 0
            //  F(B) - B < 0 (B は十分大きな数値,k=1 から帰納的に示せる)
            //
            // なので二分探索で F(x)=x なる x を求められる。
            double low  = 0.0;
            double high = 10E+6;
            REP(i,100)
            {
                double mid = (low+high)*0.5;
                if (F(K, mid) > mid)
                    low = mid;
                else
                    high = mid;
            }
            cout<<setprecision(20)<<(low+high)*0.5<<endl;
    }
    void solve(void) {
            solve_binserach();
    }
};